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初中几何:菱形与正三角形
答五月同学http://iask.sina.com.cn/b/16636685.html
【问题】菱形ABCD中∠BAD=120°,点M在BC上,N在CD上,∠AMN=60°。求证△AMN为等边三角形。
【证明一】【四点共圆法】据题意有α=β=60°,所以A、M、C、N四点共圆,于是有
∠1=∠3和∠2=∠4,
∠1+∠2=∠3+∠4=180°-∠MCN=180°-120°=60°,
所以△AMN是正三角形。
【证明二】还有更简单的方法:首先在CD上取N',使CN'=BM。接着再通过【证明△AMN'是正三角形→∠AMN’=60°→N'与N是同一点】,只要用到三角形全等的基本概念就能达到目标。
①因为在菱形ABCD中,∠BAD=120°,所以必有AB=AC,及∠ACD=60°.
②在△ABM和△ACN'中,具备了【S,A,S】的条件,则△ABM≌△ACN'。
④∠MAN'=∠1+∠3=∠2+∠3=∠BAC=60°,所以△AMN'是正三角形。
⑤于是∠AMN’=60°这就证明了N'与N是同一点,也就证明了题意所求证之结论。
【注】:这种方法一般也称为【同一法】。
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